p-адычны аналіз

Змест гэтай старонкі

Уводзіны ў p-адычны аналіз
Непарыўнасць і дыферэнцаванне
Вытворная Владзімірова
Інтэграванне: інтэграл Фолькерна
Тэарэма Малера
Аналітычныя функцыі
p-адычная дынаміка
p-адычныя дыферэнцыяльныя ўраўненні

Уводзіны ў p-адычны аналіз

p-адычны аналіз — гэта раздзел матэматыкі, які вывучае функцыі, вытворныя, інтэгралы і дыферэнцыяльныя ўраўненні на p-адычных ліках. Ён істотна адрозніваецца ад класічнага рэчаіснага аналізу з-за тапалагічных уласцівасцей p-адычных лікаў: яны з'яўляюцца цалкам разрыўнай, "пылападобнай" прасторай без злучных кампанентаў, акрамя адзіночных кропак.

Гэтыя асаблівасці прыводзяць да таго, што многія класічныя тэарэмы (напрыклад, тэарэма пра прамежкавае значэнне) ў p-адычным свеце не выконваюцца, затое з'яўляюцца новыя, унікальныя вынікі.

Непарыўнасць і дыферэнцаванне

Паняцце непарыўнасці ў p-адычным свеце захоўваецца, але паводзіць сябе інакш. З-за таго, што прастора $\mathbb{Q}_p$ цалкам разрыўная, паняцце звязнасці губляе сэнс. Гэта прыводзіць да вельмі нечаканых вынікаў.

Прыклад: Існуюць функцыі $f: \mathbb{Q}_p \to \mathbb{Q}_p$, вытворная якіх роўная нулю ўсюды, пры гэтым самі функцыі не з'яўляюцца канстантамі.

Гэта звязана з тым, што p-адычная прастора не з'яўляецца звязнай. Класічная тэарэма "калі $f'(x) = 0$ для ўсіх $x$, то $f$ — канстанта" патрабуе звязнасці вобласці вызначэння.

Дыферэнцаванне ў p-адычным сэнсе

Азначэнне вытворнай захоўваецца:

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

Аднак з-за ультраметрычнай прыроды метрыкі, паняцце "імкнення да нуля" тут іншы: $h \to 0$ азначае, што $|h|_p \to 0$, гэта значыць $h$ дзеліцца на ўсё больш высокія ступені $p$.

Вытворная Владзімірова

У 1990-х гадах расійскі матэматык Сяргей Владзіміраў прапанаваў альтэрнатыўнае азначэнне вытворнай, якое лепш адпавядае p-адычнай структуры. Гэта псеўдадыферэнцыяльны аператар:

(D^\alpha f)(x) = \frac{1 - p^\alpha}{1 - p^{-\alpha - 1}} \int_{\mathbb{Q}_p} \frac{f(x) - f(y)}{|x - y|_p^{1 + \alpha}} \, dy

Гэты аператар з'яўляецца p-адычным аналагам дробавага лапласіяна $(-\Delta)^{\alpha/2}$ у рэчаісным аналізе. Ён адыгрывае ключавую ролю ў p-адычнай квантавай механіцы і тэорыі p-адычных хвалевых ураўненняў.

Уласцівасці аператара Владзімірова:

Ён з'яўляецца лінейным і непарыўным у адпаведных функцыянальных прасторах.
Яго ўласнымі функцыямі з'яўляюцца характары адзельнай групы $\mathbb{Q}_p$.
Пры $\alpha = 1$ ён дае p-адычны аналаг звычайнай вытворнай.

Інтэграванне: інтэграл Фолькерна

З-за таго, што p-адычная прастора цалкам разрыўная, класічны інтэграл Рымана або Лебега не падыходзіць. Замест іх выкарыстоўваецца інтэграл Фолькерна (або інтэграл Фелікса-Фолькерна), які быў уведзены ў 1960-х гадах.

Азначэнне інтэграла Фолькерна

Няхай $f: \mathbb{Z}_p \to \mathbb{Q}_p$ — непарыўная функцыя. Разгледзім яе значэнні на шарах радыуса $p^{-n}$:

I_n = p^{-n} \sum_{a=0}^{p^n - 1} f(a)

Калі паслядоўнасць $I_n$ збягаецца пры $n \to \infty$, то яе ліміт называецца інтэгралам Фолькерна:

\int_{\mathbb{Z}_p} f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} p^{-n} \sum_{a=0}^{p^n - 1} f(a)

Уласцівасці інтэграла Фолькерна

Лінейнасць: $\int (af + bg) = a \int f + b \int g$.
Інварыянтнасць адносна зруху: $\int_{\mathbb{Z}_p} f(x+a) \, dx = \int_{\mathbb{Z}_p} f(x) \, dx$ для $a \in \mathbb{Z}_p$.
Адрозненне ад Лебега: інтэграл Фолькерна не з'яўляецца дадатна вызначаным! Інтэграл ад дадатнай функцыі можа быць роўны нулю або нават адмоўны.

Прыклад: Вылічым $\int_{\mathbb{Z}_p} x^n \, dx$.
Для $n = 0$: $\int_{\mathbb{Z}_p} 1 \, dx = 1$.
Для $n \ge 1$: інтэграл роўны $0$ пры ўсіх $n$, акрамя $n = p^k - 1$ для некаторых $k$.
Гэта звязана з уласцівасцямі лікаў Бернулі ў p-адычным свеце.

Тэарэма Малера

Выдатны вынік у p-адычным аналізе — тэарэма Малера, даказаная ў 1958 годзе. Яна дае аналаг рад Тэйлара для непарыўных функцый на $\mathbb{Z}_p$.

Тэарэма Малера: Кожную непарыўную функцыю $f: \mathbb{Z}_p \to \mathbb{Q}_p$ можна адназначна раскласці ў рад па бінаміяльных каэфіцыентах: $$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \binom{x}{n} $$ дзе $\binom{x}{n} = \frac{x(x-1)\cdots(x-n+1)}{n!}$, а каэфіцыенты $a_n \in \mathbb{Q}_p$ задавальняюць умову $a_n \to 0$ ў p-адычнай метрыцы пры $n \to \infty$.

Каэфіцыенты Малера

Каэфіцыенты $a_n$ вылічваюцца па формуле:

a_n = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k} \binom{n}{k} f(k)

Гэта аналаг канечных рознасцей у класічным аналізе. Тэарэма Малера паказвае, што бінаміяльныя каэфіцыенты адыгрываюць у p-адычным аналізе тую ж ролю, што і ступені $x^n$ у класічным радзе Тэйлара.

Аналітычныя функцыі

Функцыя $f: \mathbb{Q}_p \to \mathbb{Q}_p$ называецца лакальна аналітычнай, калі ў наваколлі кожнага пункта яна раскладваецца ў збежны ступенны рад:

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x - a)^n, \quad c_n \in \mathbb{Q}_p

p-адычныя аналітычныя функцыі маюць шмат агульнага з рэчаіснымі, але і істотныя адрозненні:

Ізаліраванасць нулёў: нулі аналітычнай функцыі ізаляваныя (як і ў рэчаісным выпадку).
Адсутнасць тэарэмы Ліувіля: абмежаваная аналітычная функцыя не абавязкова канстанта.
Строгая збежнасць: рады збягаюцца ў p-адычным сэнсе значна лягчэй, чым у рэчаісным.

p-адычная дынаміка

p-адычная дынаміка вывучае ітэрацыі адлюстраванняў $f: \mathbb{Q}_p \to \mathbb{Q}_p$. Гэта асобная вобласць з багатымі вынікамі.

Перыядычныя пункты і іх устойлівасць

Пункт $x_0$ называецца перыядычным з перыядам $n$, калі $f^n(x_0) = x_0$. Ён называецца устойлівым, калі $|(f^n)'(x_0)|_p < 1$, і неўстойлівым, калі $|(f^n)'(x_0)|_p > 1$.

Тэарэма аб устойлівасці: У p-адычным свеце кожны перыядычны пункт з'яўляецца альбо ўстойлівым, альбо раўнамерна неўстойлівым. Няма "нейтральных" пунктаў, як у рэчаіснай дынаміцы.

Дрэва Жулі

У p-адычнай дынаміцы аналаг мноства Жулі мае дрэвападобную структуру. Гэта звязана з тым, што p-адычная прастора сама па сабе дрэвападобная.

p-адычныя дыферэнцыяльныя ўраўненні

p-адычныя дыферэнцыяльныя ўраўненні — гэта ўраўненні, якія ўтрымліваюць вытворныя (або аператар Владзімірова) p-адычных функцый. Яны маюць прымяненне ў фізіцы і тэорыі лікаў.

Прыклад: p-адычнае хвалевае ўраўненне

\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = D^2 u

дзе $D$ — аператар Владзімірова. Гэта ўраўненне апісвае p-адычныя хвалі і мае рашэнні, якія істотна адрозніваюцца ад рэчаісных аналагаў.

Прымяненне: p-адычныя дыферэнцыяльныя ўраўненні выкарыстоўваюцца ў мадэлях p-адычнай квантавай механікі, дзе яны апісваюць эвалюцыю хвалевай функцыі ў p-адычнай прасторы-часе.