Асноўныя ўласцівасці p-адычных лікаў

Змест гэтай старонкі

p-адычная норма і яе ўласцівасці
p-адычнае раскладанне
Ультраметрычная няроўнасць
Дзіўная p-адычная геаметрыя
Тапалагічныя ўласцівасці
Лема Гензеля і яе ўзмацненні
Структура поля $\mathbb{Q}_p$ і кольца $\mathbb{Z}_p$
Алгебраічныя ўласцівасці

p-адычная норма і яе ўласцівасці

Для кожнага простага ліку $p$ і рацыянальнага ліку $x \neq 0$ вызначым p-адычную нарму (або p-адычнае абсалютнае значэнне). Запішам $x$ у выглядзе $x = p^k \cdot \frac{a}{b}$, дзе $a, b \in \mathbb{Z}$ і ні $a$, ні $b$ не дзеляцца на $p$. Тады p-адычная норма вызначаецца як:

|x|_p = p^{-k}, \quad |0|_p = 0

Паказчык $k$ называецца p-адычным парадкам ліку $x$ і абазначаецца $v_p(x)$. Гэта проста ступень, з якой $p$ уваходзіць у раскладанне $x$ на простыя множнікі.

Асноўныя ўласцівасці нормы

Неадмоўнасць: $|x|_p \ge 0$, прычым $|x|_p = 0 \Leftrightarrow x = 0$.
Мультыплікатыўнасць: $|xy|_p = |x|_p \cdot |y|_p$.
Ультраметрычная няроўнасць: $|x + y|_p \le \max(|x|_p, |y|_p)$.
Нармаванне: $|p|_p = 1/p$, $|q|_p = 1$ для любога простага $q \neq p$.

Прыклад: Вылічым $|x|_5$ для $x = 75/49$.
Раскладзем: $75 = 3 \cdot 5^2$, $49 = 7^2$. Тады $x = 5^2 \cdot \frac{3}{49}$.
Тут $k = 2$, значыць $|x|_5 = 5^{-2} = 1/25$.
А $|x|_7 = 7^{-(-2)} = 7^2 = 49$.
А $|x|_3 = 3^{-1} = 1/3$.

p-адычнае раскладанне

Кожны p-адычны лік $x \in \mathbb{Q}_p$ можна адназначна прадставіць у выглядзе збежнага рада:

x = \sum_{i=k}^{\infty} a_i p^i, \quad a_i \in \{0, 1, \dots, p-1\}, \quad k \in \mathbb{Z}

Гэта раскладанне аналагічна дзесятковаму запісу, але з некалькімі важнымі адрозненнямі:

Асновай з'яўляецца просты лік $p$, а не 10.
Сума можа быць бясконцай у бок старэйшых ступеней (гэта значыць, $i \to +\infty$).
Сума заўсёды канчатковая ў бок малодшых ступеней (гэта значыць, пачынаецца з некаторага $k$, магчыма адмоўнага).

Прыклад: Запішам $-1$ у 3-адычнай сістэме.
Мы шукаем $x = \sum_{i=0}^{\infty} a_i 3^i$, такі што $x + 1 = 0$.
Па модулі 3: $a_0 + 1 \equiv 0 \pmod{3} \Rightarrow a_0 = 2$.
Па модулі 9: $2 + 1 + 3a_1 \equiv 0 \pmod{9} \Rightarrow 3 + 3a_1 \equiv 0 \Rightarrow a_1 = 2$.
Працягваючы, атрымаем: $-1 = 2 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3^3 + \dots = \dots 2222_3$.

Ультраметрычная няроўнасць

Галоўная асаблівасць p-адычнай метрыкі — яна з'яўляецца неархімедавай. Замест звычайнай няроўнасці трохвугольніка $|x+y| \le |x| + |y|$ тут выконваецца значна больш строгая ўльтраметрычная няроўнасць:

|x + y|_p \le \max(|x|_p, |y|_p)

Гэта азначае, што сума двух лікаў не можа быць "большай", чым самы вялікі з іх. Іншымі словамі, у p-адычным свеце няма паняцку "назапашвання малых велічынь" — калі дзве велічыні малыя, то і іх сума малая, прычым яе "маласць" вызначаецца максімумам, а не сумай.

Наступствы: З ультраметрычнай няроўнасці вынікае, што калі $|x|_p \neq |y|_p$, то $|x+y|_p = \max(|x|_p, |y|_p)$. Гэта значыць, што ў p-адычным свеце "даданне не мяняе памеру", калі складнікі розных памераў.

Дзіўная p-адычная геаметрыя

Ультраметрычная няроўнасць прыводзіць да вельмі неінтуітыўных, але прыгожых геаметрычных уласцівасцей:

Усе трохвугольні раўнабедраныя

У любым p-адычным трохвугольніку з вяршынямі $A, B, C$ хаця б дзве стараны роўныя, а трэцяя — не даўжэйшая за іх. Гэта значыць, што "роўнастаронніх" трохвугольнікаў у p-адычным свеце не бывае (акрамя выраджаных).

Кожны пункт шара — яго цэнтр

Калі пункт $y$ ляжыць унутры шара $B(x, r) = \{z : |z - x|_p \le r\}$, то гэты шар можна разглядаць як шар з цэнтрам у пункце $y$ таго ж радыуса: $B(x, r) = B(y, r)$. Гэта значыць, што паняцце "цэнтра шара" не адназначна.

Дрэвападобная структура

Любыя два шары ў p-адычнай прасторы альбо не перасякаюцца, альбо адзін цалкам змяшчаецца ў іншым. Гэта фарміруе іерархічную дрэвападобную структуру прасторы, дзе шары могуць быць арганізаваны ў выглядзе дрэва. Такая структура вельмі нагадвае іерархічную класіфікацыю ў біялогіі або структуру файлавай сістэмы.

Тапалагічныя ўласцівасці

p-адычныя лікі маюць вельмі спецыфічную тапалогію, якая істотна адрозніваецца ад тапалогіі рэчаісных лікаў:

Цалкам разрыўная прастора: p-адычныя лікі не маюць звязных кампанентаў, акрамя адзіночных кропак. Гэта значыць, што паміж любымі двума рознымі p-адычнымі лікамі існуе "разрыў".
Кампактнасць $\mathbb{Z}_p$: кольца p-адычных цэлых лікаў $\mathbb{Z}_p = \{x \in \mathbb{Q}_p : |x|_p \le 1\}$ з'яўляецца кампактным. Гэта аналаг адрэзка $[0, 1]$ у рэчаісным свеце, але з зусім іншай тапалогіяй.
Тапалагічная ізомарфнасць: $\mathbb{Z}_p$ тапалагічна ізомарфны кантараву мноству — знакамітаму фракталу, які атрымліваецца выдаленнем сярэдніх трацін з адрэзка.
Лакальная кампактнасць: $\mathbb{Q}_p$ з'яўляецца лакальна кампактнай прасторай, што дазваляе вызначыць на ёй меру Хара.

Лема Гензеля і яе ўзмацненні

Лема Гензеля — адзін з самых важных інструментаў p-адычнай тэорыі лікаў. Яна дазваляе паднімаць набліжаныя рашэнні ўраўненняў да дакладных.

Класічная лема Гензеля: Няхай $f(x) \in \mathbb{Z}_p[x]$ — мнагачлен. Калі існуе $a \in \mathbb{Z}_p$, такі што $|f(a)|_p < |f'(a)|_p^2$, то існуе адзіны $\alpha \in \mathbb{Z}_p$, такі што $f(\alpha) = 0$ і $|\alpha - a|_p < |f'(a)|_p$.

Узмацненні лемы Гензеля

Існуюць розныя ўзмацненні і абагульненні лемы Гензеля:

Лема Гензеля для сістэм ураўненняў: аналагічны вынік справядлівы для сістэм мнагачленаў ад некалькіх зменных.
Метад Ньютана ў p-адычным свеце: ітэрацыі $x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)$ збягаюцца квадратычна, прычым значна хутчэй, чым у рэчаісным выпадку.
Неархімедаў аналіз: лема Гензеля з'яўляецца p-адычным аналагам тэарэмы аб няяўнай функцыі.

Структура поля $\mathbb{Q}_p$ і кольца $\mathbb{Z}_p$

Кольца p-адычных цэлых лікаў $\mathbb{Z}_p$

$\mathbb{Z}_p = \{x \in \mathbb{Q}_p : |x|_p \le 1\}$ — гэта кольца p-адычных цэлых лікаў. Яно мае наступную структуру:

Кампактнасць: $\mathbb{Z}_p$ з'яўляецца кампактным тапалагічным кольцом.
Адзіны максімальны ідэал: $p\mathbb{Z}_p$. Такія кольцы называюцца лакальнымі.
Поле вылікаў: $\mathbb{Z}_p / p\mathbb{Z}_p \cong \mathbb{F}_p$ — канечнае поле з $p$ элементамі.
Групы адзінак: $\mathbb{Z}_p^\times = \mathbb{Z}_p \setminus p\mathbb{Z}_p$ — група адваротных элементаў.

Структурная тэарэма для $\mathbb{Z}_p^\times$

Тэарэма: Для $p \neq 2$: $$ \mathbb{Z}_p^\times \cong \mathbb{F}_p^\times \times (1 + p\mathbb{Z}_p) \cong \mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_p $$
Для $p = 2$: $$ \mathbb{Z}_2^\times \cong \{\pm 1\} \times (1 + 4\mathbb{Z}_2) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_2 $$

Алгебраічныя ўласцівасці

Алгебраічнае замыканне

Поле $\mathbb{Q}_p$ не з'яўляецца алгебраічна замкнёным. Яго алгебраічнае замыканне $\overline{\mathbb{Q}_p}$ мае бясконцую ступень над $\mathbb{Q}_p$. Аднак папаўненне $\overline{\mathbb{Q}_p}$ адносна p-адычнай нормы дае поле $\mathbb{C}_p$, якое ўжо з'яўляецца алгебраічна замкнёным.

Тэарэма: Поле $\mathbb{C}_p$ (папаўненне алгебраічнага замыкання $\mathbb{Q}_p$) з'яўляецца алгебраічна замкнёным. Больш за тое, яно тапалагічна ізомарфна полю комплексных лікаў $\mathbb{C}$, хоць і не з'яўляецца ізаморфным яму як поле.

Цікавы факт: Існуе неканструктыўны ізамарфізм $\mathbb{C}_p \cong \mathbb{C}$ як палёў (яны абодва алгебраічна замкнёныя і маюць аднолькавую магутнасць кантынуума). Аднак гэты ізамарфізм не непарыўны! Гэта адзін з самых дзіўных фактаў у сучаснай матэматыцы.

p-адычныя лікі і тэорыя Галуа

Абсалютная група Галуа $\text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ дзейнічае на p-адычных ліках. Гэта дзеянне з'яўляецца цэнтральным аб'ектам сучаснай тэорыі лікаў. p-адычныя прадстаўленні Галуа — гэта гамамарфізмы $\rho: \text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) \to GL_n(\mathbb{Q}_p)$. Менавіта яны адыгралі ключавую ролю ў доказе тэарэмы Ферма.